Зміст журналів



Фундаментальні властивості основних матричних форм в системах рівнянь міжгалузевого балансу

Кулик М.М., акад. НАН України, д-р техн. наук, проф.
Інститут загальної енергетики НАН України, вул. Антоновича, 172. м. Київ, 03150, Україна
Мова: російська, англійська
Джерело: Проблеми загальної енергетики, 2017, 2(49):14-39
https://doi.org/10.15407/pge2017.02.014
Рубрика: Математичне моделювання енергетичних об'єктів і систем
УДК: 622.324
Надійшла: 05.06.2017
Опубліковано: 14.07.2017

Анотація:

Досліджено фундаментальні властивості матриць трьох систем алгебраїчних рівнянь, якими формалізуються ключові задачі міжгалузевого балансу: визначення випуску за даними кінцевого попиту, визначення випуску за даними доданої вартості, встановлення взаємозв'язку між рівноважними цінами і випуском. Всі ці задачі вирішено з використанням одного і того самого запропонованого тут методу, названого методом екстраполяції до нульового детермінанту. Показано, що система рівнянь, рекомендована багатьма авторами для встановлення взаємозв'язку рівноважних цін та обсягів випуску в одиницях випуску, є однорідною. Доведено, що в цій матриці існує, як мінімум, n позитивних мінорів з розмірністю r = n - 1, де n - розмірність матриці. Ця важлива особливість зумовлює те, що в континуальній множині розв’язків відповідної системи неможливо знайти хоча б один вектор, який відповідав би смисловому змісту таблиць «витрати-випуск». Тому цю систему не можна використовувати не тільки для визначення рівноважних цін і випусків в одиницях випуску, а й для розв'язання інших задач міжгалузевого балансу.
Доведено, що матриця системи рівнянь для визначення випуску за даними кінцевого попиту має ранг r = n. Детермінант цієї матриці є завжди позитивним при будь-якій її розмірності і невід'ємності елементів кінцевого попиту, причому остання умова не завжди є необхідною.
Встановлено, що система рівнянь для визначення випуску за даними доданої вартості має матрицю, ранг якої r = n, а детермінант позитивний при всіх значеннях змінних, які відповідають умові балансу витрат. Властивість позитивності детермінанта цієї матриці вже було доведено Р. Беллманом. При цьому використовувалося доказ, заснований на визначниках Грама. Він компактніший за метод екстраполяції до нульового детермінанта, проте останній використовується відразу до всіх розглянутих тут задач і, що важливо, дає можливість визначити не тільки знак, а й значення досліджуваних детермінантів.
Слід особливо підкреслити унікальну властивість матриць систем рівнянь для визначення випусків за даними кінцевого попиту і доданої вартості. Визначники цих матриць залежать від значень правих частин відповідних систем, а саме, від значень елементів векторів кінцевого попиту і доданої вартості відповідно. Першопричиною такої властивості є те, що ці системи побудовані на підставі балансів випуску і витрат.

Ключовi слова: матриця, детермінант, ранг, вектор, випуск, витрати, баланс, ціна.

Лiтература:

  1. Кубонива М. и др. Математическая экономика на персональном компьютере. Финансы и статистика. Москва. 1991. С. 179–188.
  2. Картер А. Структурные изменения в экономике США. Статистика. Москва. 1974. С. 150–191.
  3. Леонтьев В. и др. Исследование структуры американской экономики. Москва: Государственное статистическое издательство, 1958. С. 27–63.
  4. Кулик М.Н. Пересмотр возможностей моделей равновесных цен и выпусков в теории межотраслевого баланса. Проблеми загальної енергетики. 2016. № 47. С. 5–22. https://doi.org/10.15407/pge2016.02.052
  5. Корн Г. и Корн Т. Справочник по математике. Москва: Наука, 1973. С. 46–47.
  6. Беллман Р. Введение в теорию матриц. Москва: Наука,1976. С. 319–320.

Скачування:

Повний текст (PDF)